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CITAZIONE (frattale @ 11/8/2004, 21:25) Non appena il caldo mi darà tregua inizierò a discutere delle mie teorie, sperando di trovare critche costruttive. E' inutile che parli io di frattali ed attrattoni strani, quando gente molto più qualificata di me lo ha fatto egregiamente. Se l'argomento vi interessa consiglio di dare un' occhiata a i seguenti siti www.galileimirandola.it/frattali/teoria.htmInteressante leggere qualcosa su gli attrattori strani: www.galileimirandola.it/frattali/nuova_pa3.htmwww.frattali.it/www.miorelli.net/frattali/introduzione.html(per chi ha le basi matematiche, consiglio di approfondire l'interpolazione frattale) Ovviamente non è necessario conoscere queste cose per giocare alla roulette (la roulette non è la scienza missilistica!... non sono parole mie, forse di FM?, ma rendono bene l'idea) con successo: mi permetto di suggerirle perchè a mio modesto avviso sono estremamente utili. Su come applicarle in pratica, ci arriveremo presto! Saluti
CITAZIONE (roulette @ 1/4/2003, 17:14) Ecco un'altro articolo interessante.
Con questi tipi di ragionamenti si possono adattare i frattali e gli attrattori strani alla roulette...Fractal Market Analisis
Lo sviluppo della geometria dei frattali è stato uno dei progressi più importanti ed affascinanti che la matematica ha avuto in questo secolo. Con i frattali i matematici hanno creato un sistema che descrive le forme naturali in termini di poche e semplici regole. I frattali danno struttura alla complessità e bellezza al caos.
La visione del mondo della geometria dei frattali è totalmente diversa da quella della geometria Euclidea.
Euclide ha ridotto la natura in oggetti semplici e simmetrici: il punto, la linea ad una dimensione, il piano a due dimensioni ed il solido tridimensionale.
In realtà, se osserviamo la natura, vediamo che essa rifiuta la simmetria e che non esistono in natura linee, piani e solidi perfetti così come descritti dalla geometria Euclidea; le montagne non sono coni e le nuvole non sono sfere
Benoit Mandelbrot può essere considerato l’Euclide della geometria dei frattali. Egli ha combinato il suo punto di vista e le sue osservazioni con quelle di altri matematici dando vita ad una geometria della natura profondamente diversa da quella tradizionale.
Forse il fallimento della geometria classica nel descrivere gli oggetti naturali è ben descritto dalla seguente proprietà. Per quest’ultima un oggetto diventa sempre più semplice via via che si guarda in modo più approfondito. Un solido tridimensionale diventa un piano bidimensionale, poi una linea fino ad arrivare al punto.
Un oggetto naturale dimostra invece di avere tanti più dettagli quanto più approfonditamente si guarda. Gli oggetti frattali godono della stessa proprietà: più da vicino vengono esaminati, più dettagli possono essere visti. A questo punto ci si chiede cosa sia precisamente un oggetto frattale. La parola frattale deriva dall’aggettivo latino "fractus" che significa interrotto o irregolare.
Un frattale è un oggetto di forma estremamente irregolare o estremamente interrotta e frammentata e che rimane tale qualunque sia la scala alla quale lo si esamina.
Quest’ultima proprietà si chiama "autosomiglianza": a qualunque scala si osservi, il frattale presenta sempre gli stessi caratteri globali. Ciò significa che le varie parti hanno una qualche relazione con l’intera forma dell’oggetto. Per fare un esempio di oggetto frattale possiamo pensare ad un albero. Ogni ramo, con i suoi rami ancora più piccoli che da esso si diramano, è, in un senso qualitativo, simile all’intero albero.
Abbiamo appena visto cos’è un oggetto frattale. Ci chiediamo adesso se tale concetto può essere esteso anche alle serie storiche, ovvero se una serie storica può esibire caratteristiche simili a quelle di un oggetto frattale. Per una serie storica tutto ciò significa possedere la proprietà di "autosomiglianza statistica" rispetto al tempo cioè, qualunque sia l’intervallo temporale delle osservazioni, la serie dimostra di avere sempre caratteristiche statistiche simili.
Guardiamo ad esempio le figure che seguono:
Esse rappresentano i rendimenti giornalieri, settimanali e mensili dell’indice COMIT della borsa italiana per venti osservazioni successive. Senza indicazioni sugli assi cartesiani non si riesce a distinguere ad esempio il grafico dei rendimenti giornalieri da quello dei rendimenti mensili, quello dei rendimenti settimanali da quello dei rendimenti mensili e così via.
Questi grafici mettono visivamente in evidenza la proprietà di autosomiglianza in una serie storica. Nel prossimo paragrafo vedremo come è possibile stabilire se una serie storica segue un random walk o se invece il suo andamento rispecchia la presenza di una sottostante struttura frattale nel senso che abbiamo appena visto.
L’esponente "H" di Hurst
Hurst era un idrologo che lavorò al progetto di una diga sul fiume Nilo in Egitto. Il suo compito era quello di studiare un sistema di controllo della quantità di acqua contenuta nel lago artificiale in modo che questa non fosse mai troppa o troppo poca.
Il fattore principale che influenza il livello di acqua in una diga è senza dubbio la quantità di pioggia caduta e, siccome usualmente si tende ad ipotizzare che tale quantità segua un random walk, Hurst decise di provare se effettivamente il livello di acqua nella diga, misurato in periodi di tempo successivi, seguiva o meno un cammino casuale.
Per fare ciò, mise a punto un nuovo strumento statistico denominato "esponente di Hurst (H)" che, secondo l’autore, è in grado di distinguere una serie casuale da una non casuale anche se la serie casuale non è normalmente distribuita.
Hurst misurò il modo in cui il livello del lago fluttuava intorno alla propria media con l’andare del tempo. Ci si dovrebbe attendere che il range di questa fluttuazione dipenda dalla lunghezza del periodo di tempo utilizzato per la misurazione. Se la serie è casuale, il range dovrebbe crescere con la radice quadrata del tempo.
Per standardizzare la misura, Hurst decise di creare un indice adimensionale dividendo il range per la deviazione standard delle osservazioni. Da ciò deriva il nome di "rescaled range analysis (R/S analysis)". Il calcolo dell’esponente di Hurst si esegue seguendo la procedura che andremo adesso a spiegare.
Data una serie storica con t osservazioni, si calcola la deviazione cumulata delle osservazioni dalla propria media, durante un certo periodo di tempo N:
Xt,n= S; t (e t – MN)
dove:
- Xt,n è la deviazione cumulata del periodo N;
- e t è l’osservazione t;
- MN è la media delle osservazioni e t nel periodo N.
Poi si calcola il range di questa cumulata come differenza fra il valore massimo e il valore minimo che essa assume:
RN = MAX(Xt,n) – MIN(Xt,n)
A questo punto si divide RN per la deviazione standard (S) degli e t nel periodo N in modo da standardizzare la misura.
Hurst trovò che R/S poteva essere stimato ricorrendo alla seguente equazione ("Hurst’s Empirical Law"):
R/S = (a*N)H
dove:
H è l’esponente di Hurst;
a è una costante;
R/S è il rescaled range.
Passando ai logaritmi, otteniamo :
log(R/S) = H*log(N) + log(a)
H può essere stimato regredendo il log(R/S) contro il log(N).
Mandelbrot ha dimostrato che H può assumere un valore compreso tra zero ed uno.
Se H=0,5 la serie analizzata segue un random walk. In altri termini, il range cresce con la radice quadrata del tempo, N. Non c’è dipendenza statistica di lungo periodo.
Quando invece H è diverso da 0,5 le osservazioni non sono indipendenti fra di loro. Ognuna di esse porta dentro di se una "memoria" di tutti gli eventi che l’hanno preceduta la quale non è di breve periodo, ma è una "memoria lunga" che, teoricamente, può durare per sempre. Gli eventi più recenti hanno un impatto maggiore di quelli lontani, ma questi ultimi hanno ancora un’influenza residua.
Ciò che accade oggi influenza il futuro. Dove siamo oggi è il risultato di dove eravamo ieri. Il tempo è importante.
L’impatto del presente sul futuro può essere misurato attraverso il seguente indice di correlazione:
C(H)= [2(2H-1) – 1]
<0 se HÎ (0;0.5)
=0 se H=0.5
>0 se HÎ (0.5;1)
Si deve notare ancora che questa funzione misura un tipo di correlazione di lungo periodo.
Ci sono tre classi di valori rilevanti dell’esponente di Hurst:
H=0.5
0£ H<0.5
0.5<h£ 1
H uguale a 0.5 ,come abbiamo detto, indica che la serie analizzata segue un random walk. Gli eventi non sono fra di loro correlati. Il presente non influenza il futuro. La distribuzione di probabilità sottostante può essere quella normale, ma può anche non essere così poiché l’analisi R/S riesce ad individuare una serie casuale indipendentemente dal tipo di distribuzione sottostante. Quando 0£ H<0.5 abbiamo un sistema nel quale se ad esempio l’ultima osservazione è "up" è probabile che il successivo movimento sia "down" e viceversa.
La forza di questa "antipersistenza" nella serie è tanto maggiore quanto più H si avvicina a zero.Un valore di H compreso tra 0.5 ed 1 implica un comportamento "persistente" della serie analizzata. Questo significa che se il trend è stato positivo nell’ultimo periodo, è probabile che sia positivo anche nel periodo successivo e viceversa.Il livello di questa persistenza è tanto maggiore quanto più H si avvicina al valore 1.
Quindi, se 0.5<h£ 1, significa che nella serie storica analizzata esistono dei trends e che questi persistono nel tempo. L’andamento di un periodo di sei mesi influenza il comportamento nei successivi periodi di sei mesi così come un periodo di dieci anni influenza gli altri periodi di dieci anni e così via. Quando Hurst ha calcolato l’esponente H per il fiume Nilo ha trovato H=0,9. Successivamente ha provato con altri fiumi trovando sempre H>0.5 così come per altri tipi di fenomeni naturali.
Questi fenomeni naturali seguono un andamento nel tempo che può essere descritto come un processo stocastico "distorto" e che è stato successivamente chiamato Fractional Brownian Motion (FBM) da Mandelbrot. Questo genere di processo implica la presenza di dipendenza di lungo periodo nelle osservazioni. Falconer ha definito l’FBM nel modo che segue. Un processo stocastico X(t), con t Î [0,+¥ ), è un Fractional Brownian Motion con esponente H Î [0,1] se:
X(0)=0 con probabilità 1;
X(t) è continuo per ogni t Î [0,+¥ );
gli incrementi [X(t+D t) – X(t)] sono normalmente distribuiti con media zero e varianza D t2H per tutti i t Î [0,+¥ ) e D t Î [0,+¥ );
Questo significa che, se H¹ 0.5, gli incrementi sono delle variabili casuali stazionarie, ma dipendenti e che questa dipendenza non è di breve periodo ma riflette la presenza di una "memoria lunga" all’interno della serie storica studiata.
Rescaled Range Analysis dei mercati finanziari
Mandelbrot e successivamente Peters hanno ripreso l’esponente di Hurst e l’analisi R/S per applicarla allo studio dei mercati finanziari. Calcolare l’esponente H di Hurst per una serie storica di un indice di borsa oppure del prezzo di un titolo azionario significa andare a vedere se questa serie presenta un comportamento casuale, così come ipotizzato dalla teoria del mercato efficiente, o se invece esistono delle tendenze. H può essere preso come misura dell’impatto del "market sentiment", generato dagli eventi passati, sui rendimenti futuri.
Se H>0.5 significa che l’interpretazione da parte degli investitori delle notizie che influenzano i mercati non viene immediatamente riflessa nel prezzo così come assunto dalla teoria del mercato efficiente. L’informazione ricevuta oggi continuerà ad essere scontata dal mercato anche in futuro.
L’influenza di tale informazione decade nel tempo, ma ad un tasso molto più lento di quello di una semplice dipendenza di breve termine. Per il mercato azionario americano, Peters, utilizzando i rendimenti a venti giorni dell’indice S&P 500, ha trovato un esponente H pari a 0.78 dimostrando quindi che tale mercato non segue un "random walk" bensì un andamento che rivela una sottostante struttura frattale.
Richiamiamo qui un passo dello stesso Peters: "L’analisi R/S dimostra che l’assunzione di indipendenza, particolarmente riguardo quella di lungo periodo, è seriamente compromessa. La serie dei rendimenti di mercato è una serie persistente con una sottostante distribuzione di probabilità frattale. I rendimenti seguono un processo stocastico distorto così come descritto da Hurst. Il mercato esibisce un comportamento "trend-reinforcing"".
Peters fornisce anche una sua spiegazione del motivo per cui i rendimenti di mercato non sono perfettamente casuali, ma danno vita a dei trends ben determinati. Egli afferma che la questione fondamentale è il modo in cui gli investitori prendono le loro decisioni. Contrariamente a quanto sostenuto dalla teoria del mercato efficiente, secondo la quale gli operatori sul mercato reagiscono immediatamente alle nuove informazioni, Peters sostiene che la reazione degli investitori alle "news" non è immediata e che questi ultimi attendono che una tendenza ben definita si sia stabilita in modo da avere una sicurezza maggiore nel prendere le decisioni.
Per esempio, non si inizierà a prendere in considerazione il fenomeno dell’inflazione fino a quando questa non salirà continuamente per un certo periodo di tempo. Gli investitori attenderanno il superamento di un "livello critico" prima di reagire alle notizie e, una volta che tale livello sarà stato superato, essi reagiranno a tutte quelle informazioni ignorate fino a quel momento. Se veramente la reazione alle nuove notizie è questa, il mercato non può essere efficiente perché non è più vero che tutte le informazioni sono riflesse immediatamente nel prezzo.
Quanto detto implica che il presente è influenzato dal passato e quindi si verifica una chiara violazione della teoria del mercato efficiente. Inoltre, secondo Peters, se quello descritto è il comportamento individuale, non c’è nemmeno ragione per credere che la massa degli investitori si comporti più razionalmente in modo tale da verificare l’ipotesi di efficienza. Alcuni autori sostengono che la scoperta della natura frattale della serie dei rendimenti azionari implica che questi ultimi si comportano in modo che è più generale del modello di random walk.
Detto in maniera diversa, il random walk è solo un caso speciale di un tipo di processo più generale e si verifica quando l’esponente H di Hurst assume il valore 0.5. Questo significa che l’efficienza del mercato è una teoria speciale e non una teoria generale; è verificata qualche volta, ma non sempre.Per usare le parole degli stessi autori: "l’evidenza empirica che l’efficienza è verificata in alcuni casi e non lo è in altri, è ora consistente con l’evidenza che i rendimenti sono frattali."
Abbiamo a questo punto introdotto il concetto di frattale ed abbiamo inoltre definito l’esponente H di Hurst. Quest’ultimo ci interessa in modo particolare perché ci consente di indagare se nelle serie storiche dei prezzi azionari si possono individuare delle tendenze oppure se il loro andamento segue un cammino casuale. Se si dimostra la prima delle suddette ipotesi allora, l’utilizzo di tecniche che consentano di individuare la tendenza in atto nel mercato può risultare utile nell’impostare profittevoli strategie di investimento.
E l’analisi tecnica appunto è per definizione "trend-follower", cioè come sappiamo, il compito dell’analisi tecnica e quello di individuare una tendenza definita e di sfruttarla il più a lungo possibile.
Ricapitolando, se dall’analisi R/S e dalla stima dell’esponente di Hurst per la serie storica di un titolo o d un indice di borsa si ottiene un valore H>0.5, ciò significa che tale serie presenta una struttura frattale. Questa serie presenta cioè la caratteristica di autosomiglianza statistica rispetto al tempo e si possono individuare dei trend poiché l’aggiustamento dei prezzi alle nuove informazioni può non essere immediato come invece è sostenuto dalla teoria dell’efficienza.
Se ciò è vero, l’utilizzo dell’analisi tecnica, che cerca di individuare con tempestività il trend in atto in modo da impostare la strategia di compravendita più adeguata, è teoricamente giustificato e, per l’investitore che ne fa uso, può essere di aiuto nell’ottenere rendimenti superiori a quelli medi di mercato.
Analisi R/S del mercato azionario italiano
Il nostro scopo è adesso quello di applicare la rescaled range analysis al mercato azionario italiano per stimare l’esponente H di Hurst. La serie storica impiegata nell’analisi è quella dell’indice Comit Globale giornaliero per il periodo che va dal 2 Gennaio 1973 al 31 Gennaio 1998.
Il primo passo è quello di trasformare la serie storica dei valori dell’indice nella serie dei rendimenti mensili. La formula utilizzata per calcolare i rendimenti mensili è la seguente:
ri= ln [Comit ultimo giorno mese i / Comit primo giorno mese i ]
dove ri è il rendimento logaritmico del mese i. Si ottiene così una nuova serie composta da trecentouno rendimenti mensili dell’indice Comit.
Nel libro "Chaos and order in the capital markets" Peters utilizza la serie dei rendimenti logaritmici per svolgere l’analisi R/S del mercato azionario statunitense. Nel successivo "Fractal market analysis" invece procede ad una ulteriore elaborazione della serie dei rendimenti prima di procedere alla stima dell’esponente di Hurst.
Per questa correzione Peters parte dalla considerazione che una dipendenza lineare di breve periodo all’interno della serie dei rendimenti può disturbare la stima dell’esponente H. Questo perché si potrebbe ottenere un valore di H significativo, cioè maggiore di 0.5, ma dovuto appunto alla dipendenza lineare tra i rendimenti e non all’esistenza di una effettiva "memoria lunga" all’interno della serie storica studiata.
Per eliminare, o almeno per cercare di attenuare questo problema, Peters calcola i residui di un processo autoregressivo di ordine 1 dei rendimenti logaritmici e utilizza questa nuova serie come base di partenza per l’analisi R/S. Questo metodo non elimina completamente la dipendenza lineare tra i rendimenti logaritmici, comunque Brock, Dechert e Scheinkman suggeriscono che il problema si riduce ad un livello praticamente insignificante. In questo lavoro si utilizzerà dunque il metodo dei residui AR(1) così come proposto da Peters nel suo "Fractal Market Analysis".
Per calcolare i residui AR(1) il procedimento adottato è il seguente. Si parte dalla serie dei 301 rendimenti logaritmici mensili e si costruiscono due serie distinte. Una, che chiamiamo St, rappresenta la serie di valori della variabile dipendente e l’altra, che chiamiamo St-1 , costituisce l’insieme dei valori della variabile indipendente. Le due nuove serie dei rendimenti sono quindi sfasate temporalmente di un periodo.
A questo punto si regredisce la variabile dipendente St contro la variabile indipendente St-1 ottenendo così i valori dei parametri "a" e "b" della retta:
St = a + b*St-1 +Xt
dove Xt è il residuo AR(1) al tempo t che sarà dunque calcolato come:
Xt = St – (a + b*St-1 )
Calcolando i residui AR(1) per tutti i periodi t si ottiene una nuova serie che costituisce la base di partenza per l’analisi R/S del mercato azionario italiano.
A questo punto si divide la serie dei residui AR(1) in vari gruppi di N mesi ciascuno. La lunghezza (N) di ciascun gruppo viene fatta variare da 6 a 150 mesi e quindi il numero di gruppi ottenuti varia da 50, per N=6, a 2, per N=150.
Per ogni valore di N si calcola poi il rapporto R/S ad esso associato.
Descriviamo adesso il procedimento seguito nel caso di N=6 che è poi lo stesso per qualsiasi altro valore di N.
Con N=6 abbiamo, come si è detto, 50 sottoperiodi di 6 mesi ciascuno. Per ognuno di essi si calcola il Range ® nel modo che segue:
R= MAX(Xt,6) – MIN(Xt,6)
dove:
Xt,6= S t (Rt – M6)
dove:
Rt è il residuo AR(1) del mese t all’interno del sottoperiodo;
M6 è la media dei sei residui AR(1) del sottoperiodo.
Si determina poi la deviazione standard (S) dei sei residui e si calcola il rapporto R/S del sottoperiodo considerato.
Con questo procedimento si ottengono i cinquanta rapporti R/S dei quali poi si calcola la media aritmetica. Il risultato di questa media è il valore del rapporto R/S associato ad N=6 mesi. Allo stesso modo si calcolano i rapporti R/S associati ai vari valori di N ottenendo così i risultati riportati in tabella 1.
..............................................
A questo punto, ricordando la relazione log(R/S) = H*log(N) +log(a), per stimare l’esponente di Hurst si effettua la regressione di log(R/S) contro log(N) prendendo il coefficiente angolare della retta come valore di H.
I risultati ottenuti dall’analisi R/S sono riportati nella tabella 2 mentre la figura 1 mostra il grafico della retta di regressione.
Tabella 2
Retta di regressione : Y= 0.6777x -0,2422
R2 =0,988
Coeff. di Hurst H= 0,6777
Correlazione C(H) = 27,93%
Errore standard di H stimato = 0,017
Errore standard di Y
Stimato= 0,028
Figura 1
Il valore di H=0.6777 (più o meno 0.017) mostra chiaramente che la serie storica dell’indice Comit ha una struttura frattale e non segue un random walk. L’alto valore di R2 (98.8%) ed il basso errore standard (più o meno 0.028) illustrano inoltre la bontà dell’adattamento.
Il valore osservato della statistica F è 1557.78, quindi molto maggiore del valore critico che, nel caso di un test ad una coda con a =0.05, è pari a 4.38. Inoltre il valore della statistica t è 39.4688 anch’esso quindi maggiore del valore critico che, con a =0.05 e 19 gradi di libertà è pari a 1.729.
Il coefficiente di correlazione C(H) è pari a 27.93% e ciò significa che tale percentuale misura l’impatto del "market sentiment" , generato dagli eventi passati, sui rendimenti futuri. Tale correlazione indica che l’interpretazione delle notizie non è immediatamente riflessa nel prezzo, così come sostenuto dall’ipotesi del mercato efficiente, ma si manifesta invece con ritardo nei rendimenti.
Il valore di H>0.5 implica la presenza di trends all’interno della serie storica dell’indice Comit e questo giustifica teoricamente l’utilizzo dell’analisi tecnica per sfruttare tali tendenze in modo da scegliere la strategia di compravendita più appropriata.
Poniamoci adesso il problema della validità della stima dell’esponente H di Hurst. Un valore di H significativamente diverso da 0.5 ha essenzialmente due possibili spiegazioni:
c’è una componente di "memoria lunga" nella serie storica studiata. Ogni osservazione è correlata con un certo grado alle osservazioni che seguono;
l’analisi è errata ed un valore anomalo di H non ha nessun significato particolare.
Possiamo testare la validità dei nostri risultati cambiando casualmente l’ordine della serie dei dati dell’indice Comit. La distribuzione di frequenza della serie storica resta invariata poiché i dati sono sempre gli stessi, ma l’ordine iniziale è completamente stravolto.
A questo punto calcoliamo con il metodo usato prima i residui AR(1) ed applichiamo nuovamente l’analisi R/S per stimare l’esponente H della nuova serie.
Se la serie è veramente una serie indipendente, allora il valore di H dovrebbe rimanere sostanzialmente invariato perché non c’è correlazione fra i rendimenti.
Viceversa, se esiste una "memoria lunga" nella serie, l’ordine dei dati è importante. Variando tale ordine si distrugge la struttura del sistema. Il valore di H dovrebbe in questo caso essere vicino a 0.5 indicando così che la nuova serie segue realmente un random walk.
I risultati ottenuti sono riportati nella tabella 3 mentre in figura 2 troviamo la retta di regressione originale e quella della serie modificata.
Tabella 3
Retta di regressione: Y= 0.5153x -0,0347
R2 =0,9757
Coeff. Di Hurst H= 0,5153
Correlazione C(H) = 2,14%
Errore standard di H
Stimato = 0,019
Errore standard di Y
Stimato= 0,030
Figura 2
La serie modificata ha un valore H=0.5117. ciò significa che la "memoria lunga" presente nella serie originale è stata distrutta e che il rimescolamento casuale dei dati ha cambiato il carattere della serie temporale. Sembra così dimostrato che il valore di H=0.6777 indica realmente che la struttura sottostante alla serie storica dell’indice Comit è una struttura frattale.
Informazioni, Stabilità, memoria ...
Abbiamo visto che utilizzando la Rescaled Range Analysis, l’esponente di Hurst può essere utilizzato per darci informazioni riguardo alla struttura "frattale" dei mercati finanziari. È possibile adesso utilizzare le evidenze empiriche ottenute per cercare di formulare delle ipotesi che descrivano il comportamento dei mercati finanziari.
Informazioni e orizzonte di investimento.
Ogni investitore ha il proprio periodo di investimento che chiameremo "orizzonte di investimento". Il comportamento di un day-trader sarà molto diverso da quello di un gestore di un fondo pensione. Nel primo caso l’orizzonte di investimento sarà misurato in minuti mentre nel secondo caso in anni.
La stessa informazione avrà un impatto diverso a seconda dei diversi orizzonti temporali. A differenza della teoria dell’efficienza, l’EMH assume che la diffusione delle informazioni non avviene contemporaneamente a tutti gli investitori: in ogni istante i prezzi non riflettono tutte le informazioni disponibili, ma solo quelle importanti per quel determinato orizzonte di investimento.
Stabilità
Un mercato stabile è un mercato liquido. La liquidità è disponibile quando un numero elevato di investitori con orizzonti di investimento diversi opera simultaneamente. Questo fa sì che se ad esempio l’arrivo di una nuova informazione causa una drastica diminuzione delle quotazioni per l’orizzonte di investimento a breve termine, l’investitore con un orizzonte temporale più lungo entrerà probabilmente in acquisto poiché si verifica la possibilità di acquistare a prezzi più bassi. Vediamo appunto come la stessa informazione produca effetti diversi in base ai vari orizzonti di investimento. Questo effetto garantisce liquidità al mercato poiché eventuali crisi in un orizzonte vengono assorbite dall’intervento di investitori con un orizzonte diverso.
Quando invece per qualche motivo le prospettive di lungo periodo diventano eccessivamente incerte, gli investitori di lungo periodo cessano di partecipare al mercato oppure diventano essi stessi orientati al breve periodo. Ciò ha come conseguenza che tutti i partecipanti al mercato fanno riferimento al medesimo set informativo che è principalmente "tecnico" o basato sul comportamento della "massa". Così il mercato perde la sua stabilità: non ci sono più investitori di lungo periodo che stabilizzano il mercato offrendo liquidità agli investitori di breve termine.
Questa instabilità si manifesta con una volatilità di breve periodo estremamente elevata. In questo modo possono essere spiegati alcuni dei momenti più turbolenti vissuti dai mercati finanziari come il crash dell’ottobre del 1987 o le reazioni dei mercati durante la Guerra del Golfo del 1990.
Memoria lunga
Nei mercati finanziari, molte serie storiche dei prezzi sono caratterizzate dalla presenza di una "memoria lunga": l’attività odierna influenzerà il futuro per un lungo periodo di tempo. Ciò causa dei seri problemi per l’utilizzo delle tradizionali metodologie di studio delle serie storiche poiché questa "long memory" non viene filtrata nemmeno utilizzando i residui di un modello autoregressivo del primo ordine AR(1) che è uno dei metodi più usati per eliminare la correlazione seriale fra i dati. La presenza di questa memoria dà vita a trends ben definiti dei prezzi delle attività finanziarie.
Volatilità
Il rischio di un’azione è comunemente associato con la volatilità dei rendimenti di quest’ultima. La volatilità viene generalmente calcolata come la varianza (o la deviazione standard) dei rendimenti mensili e poi annualizzata moltiplicandola per la radice quadrata di 12. Questo metodo deriva dall’osservazione che in un Brownian Motion (cammino casuale) la distanza coperta da una particella aumenta con la radice quadrata del tempo.
Il problema è che tutto ciò è valido solo se la distribuzione dei rendimenti è quella normale. Le nostre ricerche hanno evidenziato invece che la distribuzione dei rendimenti è una distribuzione frattale per la quale non è possibile avere una varianza definita della popolazione. Questo perché per una simile distribuzione non si può utilizzare la varianza di un campione di dati per stimare la varianza dell’intera popolazione.
A questo punto viene da se che l’utilizzo della varianza, o della deviazione standard quale stima del rischio di un’attività finanziaria può non essere corretto e quindi le teorie come la Modern Portfolio Theory di Markowitz o la formula del valore teorico di una opzione di Black e Sholes che si basano su questa impostazione perdono molta della loro efficacia.
Conclusioni
Con la Fractal Market Analysis viene proposto un insieme di ipotesi che sostituiscono quelle ormai consolidate della teoria dell'efficienza nella spiegazione del funzionamento dei mercati finanziari. La natura "frattale" dei mercati contraddice l'EMH e tutti i modelli quantitativi che, come il CAPM e la formula di Black e Scholes, dipendono dall'assunzione di normalità della distribuzione dei rendimenti.
Essi falliscono perché semplificano la realtà imponendo il random walk ed ignorando l'influenza del tempo nel processo decisionale. Così facendo è possibile trovare una soluzione ottimale per i modelli matematici: "portafoglio ottimale", "valore intrinseco" e "prezzo di equilibrio". La Fractal Market Analysis rende le cose più complicate da ridurre a semplici modelli matematici, ma ci porta più vicini alla realtà che si trovano di fronte coloro che quotidianamente hanno a che fare con i mercati.
Non ci sono garanzie sul fatto che sarà più facile guadagnare, ma avremo sicuramente una maggiore conoscenza delle regole per sviluppare strategie vincenti e sicuramente
Verifica della "trading roule"
Abbiamo visto che l’utilizzo dell’analisi tecnica sembra giustificato dalla scoperta della struttura frattale del mercato azionario italiano. Il nostro scopo è adesso quello di applicare un trading system, sviluppato con alcuni strumenti dell’analisi tecnica, all’indice Comit nel periodo dal 1973 al 1997 per confrontarne i risultati con una strategia di tipo "buy and hold" suggerita dalla teoria dell’efficienza.
La strategia utilizzata per la verifica è volutamente una strategia elementare, direi quasi banale, ma questo serve per sottolineare le grandi potenzialità dell’analisi tecnica e come sia sufficiente un basso livello di complicazione per riuscire a smentire la teoria del random walk.
Il campione di dati utilizzati è la serie dei valori giornalieri dell’indice Comit dal 2 gennaio del 1973 al 31 dicembre del 1997.
Per prima cosa si divide l’intero campione di dati in cinque sottoperiodi di cinque anni ciascuno. Abbiamo quindi:
Periodo 1: 02/01/1973 – 31/12/1977
Periodo 2: 01/01/1978 – 31/12/1982
Periodo 3: 01/01/1983 – 31/12/1987
Periodo 4: 01/01/1988 – 31/12/1992
Periodo 5: 01/011993 – 31/12/1997
A questo punto si cerca una strategia operativa derivata dall’analisi tecnica ottimizzata per il Periodo 1, che riesca cioè in tale periodo a battere di gran lunga una politica da cassettista che prevede l’acquisto dell’indice l’1 gennaio 1973 e la vendita il 31 dicembre 1977.
Una volta trovata la trading rule ottimale si verifica se questa riesce a generare profitti superiori a quelli della gestione passiva di tipo buy and hold anche nel secondo periodo cioè nel periodo dal 1978 al 1982.
Fatto questo, si abbandona la trading rule precedentemente creata e si cerca una strategia appositamente ottimizzata per il secondo periodo che verrà poi confrontata con la gestione di tipo passivo nel terzo periodo.
Questo procedimento viene poi seguito anche per i successivi periodi di tempo.
Lo scopo di questo tipo di analisi è quello di verificare la validità di una trading rule derivata dall’analisi tecnica che non rimane invariata nel tempo, ma che si adatta per conformarsi alle caratteristiche della dinamica dell’indice Comit nei cinque anni precedenti al periodo di verifica.
Riepilogo dei risultati ottenuti
Una volta analizzato il comportamento delle varie trading rules e della strategia di tipo buy and hold nei diversi periodi di tempo, dobbiamo mettere insieme i risultati ottenuti per poter fornire un giudizio sulla strategia di investimento rivelatasi migliore.
Risultati ottenuti con le varie "trading rules" nel periodo 1978-1997:
- Totale punti netti guadagnati = 1420,69
- Capitale iniziale = 67,76
- Capitale finale = (67,76 + 1420,69) = 1488,45
- Incremento netto del capitale iniziale =
= [(Cap. finale – Cap. iniziale) / Cap. iniziale]*100 =
= [(1488,45 – 67,76) / 67,76]*100 = 2096,65%
Risultati ottenuti con la gestione di tipo "buy and hold" nel periodo 1978- 1997
1° Metodo
Acquisto dell’indice Comit l’1 gennaio 1978 al prezzo netto di 56,18
Vendita dell’indice Comit il 31 dicembre 1997 al prezzo netto di 1042,65
Punti netti guadagnati = (1042,65 – 56,18) = 986,47
Incremento netto del capitale iniziale =
= [(1042,65 – 56,18) /56,18]*100 = 1755,91%
2° Metodo
Acquisto all’inizio e vendita dell’indice Comit alla fine di ciascuno dei 20 anni di verifica
Totale punti netti guadagnati = 820,56
Capitale iniziale all’1 gennaio 1978 = 56,18
Capitale finale al 31 dicembre 1997 = (56,18 + 820,56) = 876,74
Incremento netto del capitale iniziale =
= [(876,74 – 56,18) / 56,18]*100 = 1460,59%
Come possiamo notare, le varie strategie di compravendita derivate dall’analisi tecnica hanno generato profitti superiori a quelli ottenuti seguendo una semplice gestione di tipo passivo.
Conclusioni
Possiamo adesso confermare nuovamente ciò che la Fractal Market Analysis ci aveva suggerito: il mercato azionario italiano non presenta le caratteristiche di un mercato efficiente, nemmeno nella forma "debole" indicata da Fama, poiché una regola operativa di investimento derivata dall’analisi e dall’elaborazione della serie storica dei valori dell’indice Comit riesce sistematicamente "a battere il mercato" ovvero ad ottenere profitti superiori a quelli di una politica passiva di investimento con la quale l’investitore non si impegna in un’attività di compravendita dell’indice , ma si limita a tenerlo in portafoglio per un lungo periodo di tempo.
La superiorità della gestione "attiva" deriva dal fatto che essa sfrutta i "trend" che esistono nei mercati azionari, rialzisti o ribassisti che siano, i quali hanno origine dal graduale processo di aggiustamento del prezzo verso il valore di equilibrio poiché esso, dopo l’arrivo di una "news" sul mercato, non viene raggiunto in modo immediato così come teorizzato dall’ipotesi di efficienza del mercato. |
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