Mi permetto di non essere d'accordo:
se vogliamo essere precisi la legge dell'arcoseno dice un'altra cosa... faccio che fare un copia/incolla così facciamo prima poi commento.
CITAZIONE
2.2.3 La legge dell’arcoseno
Consideriamo il seguente evento:
A2k,2n = {|{i : 0 <= i <= 2n, si >= 0}| = 2k}.
In altre parole, A2k,2n `e l’insieme delle traiettorie di lunghezza 2n che assumono valore
positivo 2k volte (e quindi valore negativo 2n − 2k volte; non è difficile convincersi che
|{i : 0 <= i <= 2n, si >= 0}| è necessariamente un numero pari).
Definiamo P2k,2n := P (A2k,2n) .
Quanto vale questa probabilità? E per quali valori di k essa assume il valore massimo? Data
la simmetria della passeggiata aleatoria, si potrebbe pensare che la cosa pi`u probabile sia
che essa trascorra circa met`a del tempo sul semiasse positivo; cioè che P2k,2n sia massimo
per k * n/2, almeno quando n è grande. Niente di più falso! E' vero esattamente il contrario:
P2k,2n assume il valore massimo per k = 0 e k = n. Inoltre, come vedremo, `e assai probabile
che la passeggiata aleatoria trascorra “gran parte” del tempo sullo stesso semiasse. Per
dare un’immagine suggestiva di questo fenomeno, supponiamo di giocare ripetutamente
al seguente gioco: viene lanciata una moneta, se esce testa vinciamo un Euro, altrimenti
perdiamo un Euro. `E molto probabile che noi si sia gran parte del tempo in attivo (cio`e il
denaro vinto supera quello perso) e poco tempo in passivo, oppure gran parte del tempo in
passivo e poco tempo in attivo, mentre è molto meno probabile che il tempo trascorso in
attivo sia grosso modo uguale a quello trascorso in passivo.
In poche parole questa roba vuol dire solo che
durante una sequenza di giocate, trascorrerai più tempo su uno dei due segni (positivo o negativo),
ma questo mi pare ovvio anche solo a logica.
Il concetto è dinamico, non statico...
Il risultato è una fotografia, qui si parla di un film e di come arrivi all'ultimo fotogramma (che è la fotografia di prima, ovvero il risultato).
La campana rovesciata di cui parli tu è la risultante grafica del tempo passato su un semiasse piuttosto che sull'altro durante l'excursus aleatorio per arrivare al risultato. Attenzione a questo concetto che ho evidenziato, rifletteteci bene e visualizzatelo in testa, non è così immediato.
E attenzione, vale anche per le manovre.
L'esempio più lampante? La martingala!
Immagina una martingala, se fosse possibile considerando i massimali (ma non lo è), a 40 termini, in cui praticamente è impossibile perdere (o almeno, fino ad oggi non avresti mai perso).
Se tu calcoli il tempo (tempo nel senso numero di giocate, ovviamente) passato in passivo in ogni ciclo di giocate è enormemente superiore al tempo passato in attivo (1 giocata ogni n, ovvero l'ultima, quella che ti chiude la "partita"). Ma il risultato è positivo.
Al contrario i risultati ottenuti
calcolando la media rapportata al numero di giocate e con un campione rappresentativo si distribuiranno, graficamente parlando, su una campana girata correttamente (in questo caso, attenzione, vale l'affermazione: a meno che non si usi una manovra, vedi esempio di prima della martingala, uno che perde tantissimo e tanti che vincono poco).
Puoi anche calcolare come sono distribuiti i risultati senza fare test ma in accordo con la naturale deviazione standard di quel tipo di gioco.
Ciao,
Ste
